2 つの「対称」
形のつり合いを見る見方が 2 つあります。
- 線対称：1 本の直線で 2 つに折ると、両側がぴったり重なる図形。この直線を対称の軸といいます。
- 点対称：ある 1 つの点のまわりに 180°（半回転）回すと、もとの形にぴったり重なる図形。この点を対称の中心といいます。
重なり合う点・辺・角を、「対応する点」「対応する辺」「対応する角」とよびます。対応する辺の長さ、対応する角の大きさは等しくなります。
線対称な図形のきまり
- 対応する 2 つの点を結ぶ直線は、対称の軸と垂直に交わります。
- 対称の軸から、対応する 2 つの点までの長さは等しくなります。
点対称な図形のきまり
- 対応する 2 つの点を結ぶ直線は、対称の中心を通ります。
- 対称の中心から、対応する 2 つの点までの長さは等しくなります。
例1 対称の軸の本数
正方形を考えます。向かい合う辺のまん中どうしを結ぶ直線で折ると重なります。これが 2 本です。2 本の対角線で折っても重なります。これも 2 本です。合わせて 4 本です。
長方形（正方形ではないもの）では、対角線で折ると重なりません。たてと横の長さがちがうからです。対称の軸は 2 本です。
例2 点対称な図形の長さ
平行四辺形 ABCD の 2 本の対角線が点 O で交わっています。対角線 AC が 14 cm のとき、OA の長さを求めます。
- 平行四辺形は点対称で、O が対称の中心です。
- A と C は対応する点なので、OA と OC の長さは等しくなります。
- OA=14÷2=7 で、7 cm です。
例3 線対称な図形の角
対角線 AB を対称の軸とする四角形 ACBD で、角 CAB が 28° です。角 CAD を求めます。
- 軸で折ると角 CAB と角 DAB が重なるので、角 DAB も 28° です。
- 角 CAD=28°+28°=56° です。
正多角形と対称
正多角形はどれも線対称で、対称の軸の数は辺の数と同じです（正三角形は 3 本、正六角形は 6 本）。辺の数が偶数の正多角形（正方形、正六角形など）は、点対称でもあります。正三角形や正五角形は、点対称ではありません。
よくあるまちがい
- 長方形の対称の軸を 4 本と答える：対角線でも重なると思いこみがちです。紙を対角線で折るところを思いうかべましょう。かどがずれて重なりません。
- 平行四辺形を線対称だと思う：平行四辺形は、どこで折っても重なりません。点対称だけです。
- 点対称を「90° 回して重なる」と覚える：点対称は 180° です。90° 回しても重なる正方形は、特別な例です。
やってみよう
正八角形の対称の軸は何本ですか。また、正八角形は点対称ですか。（答え：8 本。辺の数が偶数なので点対称でもあります。）