このユニットで身につけること
小5の最初に学ぶのが「倍数と約数の利用」です。公約数・公倍数を見つける力は、このあと学ぶ割合・比・速さの計算をすばやく正確にする土台になります。入試では「あまり」「周期」「約数の個数」の形でくり返し出ます。
公約数と公倍数を一度に見つける（すだれ算）
2 つ以上の数を、共通にわれる数でわっていきます。
- 72 と 120：2 でわる → 36 と 60、2 でわる → 18 と 30、2 でわる → 9 と 15、3 でわる → 3 と 5
- 左にならんだ数をかけたもの 2 × 2 × 2 × 3 = 24 が 最大公約数
- それに下にのこった 3 × 5 をかけた 24 × 3 × 5 = 360 が 最小公倍数
公約数はすべて最大公約数の約数、公倍数はすべて最小公倍数の倍数です。
あまりの問題は「ひいて」「たして」そろえる
例題 1 100 をわっても 64 をわっても 4 あまる整数のうち、いちばん大きい数は？
- あまりの 4 をひくと、96 と 60 はどちらもわり切れる。
- 96 と 60 の最大公約数は 12。あまり 4 より大きいので、答えは 12。
例題 2 4 でわると 3 あまり、6 でわると 5 あまる整数で、いちばん小さい数は？
- どちらも「あと 1 でわり切れる」（不足が 1）。
- 4 と 6 の最小公倍数 12 から 1 をひいて、11。次は 23、35、… と 12 ずつふえます。
周期：同時に起こるのは最小公倍数ごと
12 分おきと 18 分おきに出るバスが同時に出たら、次にそろうのは 12 と 18 の最小公倍数の 36 分後です。
約数の個数は素因数分解で数える
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²。約数は「2 を 0〜3 こ」「3 を 0〜2 こ」の組み合わせなので、(3 + 1) × (2 + 1) = 12 こです。
わり切れる回数
1 × 2 × … × 20 が 2 で何回わり切れるかは、2 の倍数 10 こ、4 の倍数 5 こ、8 の倍数 2 こ、16 の倍数 1 こをたして 18 回です。
よくあるまちがい
- あまりが同じ問題で、わる数があまりより小さいものまで答える。 4 あまるなら、わる数は 5 以上です。
- 公約数をたずねられて最大公約数だけ答える。 「すべて」なら最大公約数の約数を全部書きます。
- 約数の個数で、0 こ使う場合をわすれる。 だから指数に 1 をたしてかけます。
やってみよう
1 から 100 までの整数で、6 の倍数でも 8 の倍数でもある数はいくつ？（答え：24 の倍数なので 4 こ）